Evolución de las congruencias módulo 9 de los números primos

En este experimento se trata de ver cómo evolucionan las congruencias módulo 9 de los números primos mayores o iguales que 5. Se constata que estas solo pueden ser 1, 2, 4, 5, 7 y 8 (no aparecen 0, 3 o 6) y se observan ciertas curiosidades.

NOTA: El siguiente script se debe ejecutar paso a paso.

#INICIO -------------------------

rm(list=ls(all=TRUE))

library(primes) #Cargamos el paquete "primes" que genera números primos

#Generamos los primos entre 5 y 1000000 y sus congruencias módulo 9

x<-generate_primes(min=5,max=1000000)

congru9<-x%%9

#Obtenemos las frecuencias de aparición de las congruencias módulo 9 de los primos generados

v<-round(table(congru9)/sum(table(congru9)),3)

#Las seis congruencias aparecen con la misma frecuencia

v

#Aplicamos un test de rachas para ver si en la serie congru9 existe un cierto patrón. Cargamos el paquete "tseries"
library(tseries)
runs.test(as.factor(congru9>median(congru9)))
#Como el p-valor es muy pequeño se rechaza la hipótesis nula y 
#se concluye que no hay una completa aleatoriedad en los valores congru9

#Veamos qué congruencias siguen a 1, 2, 4, 5, 7 y 8

a1<-congru9[which(congru9==1)+1]

a2<-congru9[which(congru9==2)+1]

a4<-congru9[which(congru9==4)+1]

a5<-congru9[which(congru9==5)+1]

a7<-congru9[which(congru9==7)+1]

a8<-congru9[which(congru9==8)+1]

par(mfrow=c(2,3))

t1<-round(table(a1)/sum(table(a1)),3);t1

plot(t1)

#Como se ve en el gráfico, tras el 1 el valor más frecuente es 5

#Curiosidad: 1+5 ≡ 6 (mod 9)

t2<-round(table(a2)/sum(table(a2)),3);t2

plot(t2)

#Como se ve en el gráfico, tras el 2 el valor más frecuente es 4

#Curiosidad: 2+4 ≡ 6 (mod 9)

t4<-round(table(a4)/sum(table(a4)),3);t4

plot(t4)

#Como se ve en el gráfico, tras el 4 el valor más frecuente es 8

#Curiosidad: 4+8 ≡ 3 (mod 9)

t5<-round(table(a5)/sum(table(a5)),3);t5

plot(t5)

#Como se ve en el gráfico, tras el 5 el valor más frecuente es 7

#Curiosidad: 5+7 ≡ 3 (mod 9)

t7<-round(table(a7)/sum(table(a7)),3);t7

plot(t7)

#Como se ve en el gráfico, tras el 7 el valor más frecuente es 2

#Curiosidad: 7+2 ≡ 0 (mod 9)

t8<-round(table(a8)/sum(table(a8)),3);t8

plot(t8)

#Como se ve en el gráfico, tras el 8 el valor más frecuente es 1

#Curiosidad: 8+1 ≡ 0 (mod 9)

#Analizamos ahora las frecuencias de los incrementos entre dos congruencias consecutivas

m<-diff(congru9)

y<-round(table(m)/sum(table(m)),3)

y
#La diferencia más frecuente es -3

vector<-c(1,2,4,5,7,8)

ss<-lapply(rev(vector),'-',rev(vector))

g1<-ss[[1]];g2<-ss[[2]];g3<-ss[[3]];g4<-ss[[4]];g5<-ss[[5]];g6<-ss[[6]]

sss<-matrix(c(g1,g2,g3,g4,g5,g6),nrow=6,byrow=T)
rownames(sss)<-vector;colnames(sss)<-vector

ssss<-round(table(sss)/sum(table(sss)),3)

#Posibles saltos (incrementos) entre dos congruencias consecutivas

#Por ejemplo, un salto de -4 se puede dar de 5 a 1 o de 8 a 4, etc.

sss
#Frecuencias de los saltos si hubiera completa aleatoriedad
ssss

windows()

#El salto más frecuente, como ya habíamos visto, es -3 (barras azules)

#Las barras rojas representan las frecuencias de los saltos (ssss) si el paso de una congruencia a otra fuera completamente aleatorio

barplot(t(cbind(y,ssss)),beside=T,col=c("blue","red"))

#Alternativamente podemos hacer lo siguiente:

par(mfrow=c(1,2))

plot(y, col='blue')

plot(ssss,col='red')

#FIN -------------------------